Tích phân đường loại 1

     

Mọi fan giúp e giải những bài này nhé. E ko đọc lắm. Mà lại thầy cũng ko giảng. Nên chả bik làm cố gắng nào.

Bạn đang xem: Tích phân đường loại 1


2, $int_L y dx - (y+ x^^2) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ vị trí trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $int_L(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0leqslant tleqslant 2pi ; a>0$
4, $I=int_L xyz ds$; L là con đường cung của mặt đường cong $x=t; y=frac13sqrt8t^3; z=frac12t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

#2
*
vo van duc


vo van duc

Thiếu úy

Điều hành viên Đại học
*
565 bài xích viếtGiới tính:NamĐến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Dù khá bị bận bịu một chút nhưng tôi cũng nỗ lực giải thích giúp cho bạn một số ý chính.

.......................................................

1) Tích phân nhường loại một trong những mặt phẳng.

$I=int_Lf(x,y)ds$

Nếu$L:left{eginmatrix x=x(t)\ y=y(t)\ tin left < a,b ight > endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bfleft ( x(t),y(t) ight ).sqrt(x"(t))^2+(y"(t))^2dt$Nếu$L:left{eginmatrix y=y(x)\ xin left < a,b ight > endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bf(x,y(x))sqrt1+left ( y"(x) ight )^2dx$Nếu$L:left{eginmatrix x=x(y)\ yin left < a,b ight > endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bf(x(y),y)sqrtleft ( x"(y) ight )^2+1dx$

Ví dụ 1:

$I_1=int _AB(x-y)ds$ cùng với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A(0,0) với B(4,3).

Giải:

Ta biết rằng$f(x,y)=x-y$ với L là đoạn trực tiếp AB.

Như cầm tắc lý thuyết đã nêu trên thì ta cần biết dạng trình diễn (phương trình biểu diễn) của đoạn trực tiếp AB. Như trên thì ta tất cả 3 cách trình diễn của đoạn AB. Và ở đây tôi cũng xin tuân theo cả bố cách để bạn có thể nắm bắt xuất sắc nó.

Xem thêm: Bài 6 Trang 147 Sgk Hóa 10, Bài 6 Trang 147 Sgk Hóa Học 10

Cách 1: Ta trình diễn doạn AB theo phương trình tham số.

Ta có:

$AB:left{eginmatrix x=4t\ y=3t\ tin left < 0,1 ight > endmatrix ight.$

Khi đó

$I_1=int_0^1left < (4t)-(3t) ight >sqrt4^2+3^2dt=5int_0^1tdt=frac52$

.............................................

Phương trình thông số của doạn AB ta lấy chỗ nào ra? Xin thưa rằng nó phía bên trong chương trình lớp 10. Nhưng ở đây tôi cũng xin đề cập lại một số công dụng để bọn họ tiện sử dụng.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, đến hai điểm $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$.Khi kia phương trình tham số đoạn AB là:$left{eginmatrix x=x_A+(x_B-x_A).t\ y=y_A+(y_B-y_A).t\ tin left < 0,1 ight > endmatrix ight.$Trong khía cạnh phẳng cùng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, mang lại đường tròn $left ( C ight )$ bao gồm phương trình$(x-a)^2+(y-b)^2=R$.Khi kia phương trình tham số của $left ( C ight )$ là:$left{eginmatrix x=a+Rcos t\ y=b+Rsin t\ tin left < 0,2pi ight > endmatrix ight.$

.........................................................

Cách 2:

Ta gồm phương trình con đường thẳng AB là $3x-4y=0$. Từ trên đây suy ra$y=frac34x$.

Xem thêm: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Chẵn Lẻ Lớp 10, Cách Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Chính Xác 100%

Nhưng phương trình đoạn AB thì sao?

Đó là$AB:left{eginmatrix y=frac34x\ xin left < 0,4 ight > endmatrix ight.$

Khi đó

$I_1=int_0^4left < x-left ( frac34x ight ) ight >sqrt1+left ( frac34 ight )^2dx=frac532int_0^4xdx=frac52$

Cách3:

Giống như cách 2 ta cũng có$left{eginmatrix x=frac43y\ yin left < 0,3 ight > endmatrix ight.$

Khi đó

$I_1=int_0^3left < left ( frac43y ight )-y ight >sqrtleft ( frac43 ight )^2+1dy=frac59int_0^3ydy=frac52$

2) Tích phân đường loại một trong những không gian

$I=int_Lf(x,y,z)ds$

Ta biểu diễn$L:left{eginmatrix x=x(t)\ y=y(t)\ z=z(t)\ tin left < a,b ight > endmatrix ight.$

Khi đó$I=int_a^bfleft ( x(t),y(t),z(t) ight )sqrtleft ( x"(t) ight )^2+left ( y"(t) ight )^2+left ( z"(t) ight )^2dt$

Ví dụ 2: Câu 4 của bạn.

$I_2=int_Lxyzds$ với$L:left{eginmatrix x=t\ y=frac13sqrt8t^3\ z=fract^22\ tin left < 0,1 ight > endmatrix ight.$

Khi đó

$I_2=int_0^1t.frac13sqrt8t^3.fract^22.sqrt1^2+left ( sqrt2t ight )^2+t^2.dt$

$=fracsqrt23int_0^1t^frac92sqrt1+2t+t^2.dt=fracsqrt23int_0^1t^frac92(1+t)dt=frac16sqrt2143$